Une suite de motifs - Activité

On considère ci-dessous une suite de motifs formés de petits carrés verts identiques.

1. Dessiner le motif obtenu à l'étape 3 en expliquant une règle permettant de le construire.

2. Combien faut-il de carrés verts pour construire le motif à l'étape 5, à l'étape 10 et à l'étape où  $n$ est un entier naturel quelconque ? Expliquer la démarche utilisée.

3. Existe-t-il un motif constitué de 105 carrés verts et un autre de 251 carrés verts ? Si la réponse est oui, justifier et préciser l'étape correspondante.

4. Pour tout entier naturel $n$ , on note  $u(n)$ le nombre de carrés verts nécessaires pour construire le motif à l'étape $n$ .

On considère que le motif initial correspond à l'étape 0 : on a donc $u(0)=5$ .

    a. Donner les valeurs de  $u(1)$ ,  $u(3)$  et  $u(10)$ .

    b. Que représente  $u(n+1)$  ?

    c. Pour tout entier naturel  $n$ , exprimer  $u(n+1)$  en fonction de  $u(n)$ .

    d. Pour tout entier naturel  $n$ , exprimer  $u(n)$  en fonction de  $n$ .