Une suite de motifs - Activité

On considère ci-dessous une suite de motifs formés de petits carrés verts identiques.

1. Dessiner le motif obtenu à l'étape 3 en expliquant une règle permettant de le construire.

2. Combien faut-il de carrés verts pour construire le motif à l'étape 5, à l'étape 10 et à l'étape où  \(n\) est un entier naturel quelconque ? Expliquer la démarche utilisée.

3. Existe-t-il un motif constitué de 105 carrés verts et un autre de 251 carrés verts ? Si la réponse est oui, justifier et préciser l'étape correspondante.

4. Pour tout entier naturel \(n\) , on note  `u(n)` le nombre de carrés verts nécessaires pour construire le motif à l'étape `n` .

On considère que le motif initial correspond à l'étape 0 : on a donc `u(0)=5` .

    a. Donner les valeurs de  `u(1)` ,  `u(3)`  et  `u(10)` .

    b. Que représente  \(u(n+1)\)  ?

    c. Pour tout entier naturel  `n` , exprimer  `u(n+1)`  en fonction de  `u(n)` .

    d. Pour tout entier naturel  `n` , exprimer  `u(n)`  en fonction de  `n` .